यदि sin theta + 2sin phi + 3sin psi = 0 और co | vedclass

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Question

(B) माना $z_1 = \cos 	heta + i \sin 	heta$,$z_2 = \cos \phi + i \sin \phi$,और $z_3 = \cos \psi + i \sin \psi$ है। दिए गए समीकरण $\cos 	heta + 2\cos

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$18\cos (	heta + \phi + \psi )$

Vedclass · Answer

(B) माना $z_1 = \cos 	heta + i \sin 	heta$,$z_2 = \cos \phi + i \sin \phi$,और $z_3 = \cos \psi + i \sin \psi$ है। दिए गए समीकरण $\cos 	heta + 2\cos \phi + 3\cos \psi = 0$ और $\sin 	heta + 2\sin \phi + 3\sin \psi = 0$ हैं। इन्हें संयोजित करने पर,$z_1 + 2z_2 + 3z_3 = 0$ प्राप्त होता है। बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ का उपयोग करने पर यदि $x + y + z = 0$ हो,जहाँ $x = z_1$,$y = 2z_2$,और $z = 3z_3$: $z_1^3 + (2z_2)^3 + (3z_3)^3 = 3(z_1)(2z_2)(3z_3) = 18 z_1 z_2 z_3$। डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z_1^3 = \cos 3	heta + i \sin 3	heta$,$(2z_2)^3 = 8(\cos 3\phi + i \sin 3\phi)$,और $(3z_3)^3 = 27(\cos 3\psi + i \sin 3\psi)$। अतः,$(\cos 3	heta + 8\cos 3\phi + 27\cos 3\psi) + i(\sin 3	heta + 8\sin 3\phi + 27\sin 3\psi) = 18(\cos(	heta + \phi + \psi) + i \sin(	heta + \phi + \psi))$। वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$\cos 3	heta + 8\cos 3\phi + 27\cos 3\psi = 18\cos(	heta + \phi + \psi)$ प्राप्त होता है।

यदि $\sin \theta + 2\sin \phi + 3\sin \psi = 0$ और $\cos \theta + 2\cos \phi + 3\cos \psi = 0$ है,तो $\cos 3\theta + 8\cos 3\phi + 27\cos 3\psi = $ का मान ज्ञात कीजिए।

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